向量真题汇编

向量真题汇编（技巧分类）

向量的定义和代数运算

问题：

¹ 已知向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3},|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}|=3$ ，则 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$

A. $-2$ $\qquad$ B. $-1$ $\qquad$ C. $1$ $\qquad$ D. $2$

问题：

² 已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,1),\boldsymbol{b}=(-2,4)$ ，则 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=$

A. $2$ $\qquad$ B. $3$ $\qquad$ C. $4$ $\qquad$ D. $5$

问题：

³ 设向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的夹角的余弦值为 $\dfrac{1}{3}$ ，且 $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=3$ ，则 $(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁴ 已知向量 $\boldsymbol{a}=(m,3),\boldsymbol{b}=(1,m+1)$ 。若 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$ ，则 $m=\_\_\_\_\_\_$ 。

问题：

⁵ 若向量 a,b 满足 $|a|=3,\ |a-b|=5,\ a\cdot b=1$ ，则 $|b|=\_\_\_\_\_\_$ 。

问题：

⁶ 已知向量 $\vec{a}=(3,1),\vec{b}=(1,0),\vec{c}=\vec{a}+k\vec{b}$ ，若 $\vec{a}\perp\vec{c}$ ，则 $k=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁷ 已知向量 $\vec{a}=(2,5)$，$\vec{b}=(\lambda,4)$ ，若 $\vec{a}\parallel\vec{b}$ ，则 $\lambda=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁸ 已知向量 $\vec{a}=(1,3)$，$\vec{b}=(3,4)$ ，若 $(\vec{a}-\lambda\vec{b})\perp\vec{b}$ ，则 $\lambda=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁹ 已知向量 $\vec{a}=(1,3)$，$\vec{b}=(3,4)$ ，若 $(\vec{a}-\lambda\vec{b})\perp\vec{b}$ ，则 $\lambda=\_\_\_\_\_\_$

问题：

¹⁰ 已知向量 $\vec{a}=(1,3)$，$\vec{b}=(3,4)$ ，若 $(\vec{a}-\lambda\vec{b})\perp\vec{b}$ ，则 $\lambda=\_\_\_\_\_\_$

问题：

¹¹ 在 $\triangle{ABC}$ 中，$D$ 是 $AB$ 边上的中点，则 $\overrightarrow{CB}=$

A. $2\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}$ $ $\qquad$ $ B. $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{2CA}$ $ $\qquad$ $ C. $2\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}$ $\qquad$ D. $\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{CA}$

问题：

¹² 设向量 $\boldsymbol{a}=(1,-1), \boldsymbol{b}=(m+1,2m-4)$ ，若 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$ ，则 $m=\_\_\_\_\_\_$

问题：

¹³ 已知直线方程 $2x-y+c=0$ 的一个方向向量 $\overrightarrow{d}$ 可以是

A. $(2,-1)$ $\qquad$ B. $(2,1)$ $\qquad$ C. $(-1,2)$ $\qquad$ D. $(1,2)$

问题：

¹⁴ 已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,2),\boldsymbol{b}=(-8,6)$ ，则 $,=

问题：

¹⁵ 已知向量 $\boldsymbol{a}=(-4,3)$ ， $\boldsymbol{b}=(6,m)$ ，且 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$ ，则 $m=\_\_\_\_\_\_\_\_$

问题：

¹⁶ 已知向量 $\boldsymbol a, \boldsymbol b$ 满足 $\left|\boldsymbol a\right|=1$ ， $\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=-1$ ，则 $\boldsymbol a \cdot (2\boldsymbol a-\boldsymbol b)=$

4 $\qquad$ (B) 3 $\qquad$ (C) 2 $\qquad$ (D) 0

问题：

¹⁷ 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,2)$ ， $\boldsymbol{b}=(2,-2)$ ， $\boldsymbol{c}=(1,\lambda)$ 。若 $\boldsymbol{c}\parallel(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ ，则$\lambda=\_\_\_\_\_\_\_$

问题：

¹⁸ 设向量 $\boldsymbol{a}=(1,0)$ ， $\boldsymbol{b}=(-1,m)$ ，且 $\boldsymbol{a} \perp (m\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$ ，则 $m=\_\_\_\_\_\_\_\_$ 。

向量的几何意义

问题：

¹⁹ 在 $\triangle{ABC}$ 中，点 $D$ 在边 $AB$ 上， $BD=2DA$ ，记 $\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{m}, \overrightarrow{CD}=\boldsymbol{n}$ ，则 $\overrightarrow{CB}=\_\_\_\_\_\_$

A. $3\boldsymbol{m}-2\boldsymbol{n}$ $\qquad$ B. $-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$ $\qquad$ C. $3\boldsymbol{m}+2\boldsymbol{n}$ $\qquad$ D. $2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$

问题：

²⁰ 已知向量 $\boldsymbol{a}=(3,4)$，$\boldsymbol{b}=(1,0)$ ， $\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}$ ，若 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$ ，则实数 $t=$

A. $-6$ $\qquad$ B. $-5$ $\qquad$ C. $5$ $\qquad$ D. $6$

问题：

²¹ 已知实数 $\lambda>0$ ，向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 的模都等于 $\lambda$ ，且 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0, \vec{c}\cdot\vec{b}=1,\vec{c}\cdot\vec{a}=2$ ，则 $\lambda=\_\_\_\_\_\_$

问题：

²² （多选）已知 $O$ 为坐标原点，点 $P_1(\cos\alpha,\sin\alpha)$ ， $P_2(\cos\beta,-\sin\beta)$ ， $P_3(\cos(\alpha+\beta)$ ，$\sin(\alpha+\beta))$ ， $A(1,0)$ 则：

A. $|\overrightarrow{OP_1}|=|\overrightarrow{OP_2}|$ $\qquad\qquad\qquad\quad$ B. $|\overrightarrow{AP_1}|=|\overrightarrow{AP_2}|$

C. $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_3}=\overrightarrow{OP_1}\cdot\overrightarrow{OP_2}$ $\qquad\qquad$ D. $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OP_2}\cdot\overrightarrow{OP_3}$

问题：

²³ 设 $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 为单位向量，满足 $|2\boldsymbol{e_1}-\boldsymbol{e_2}|\leq\sqrt{2}, \boldsymbol{a}=\boldsymbol{e_1}+\boldsymbol{e_2}, \boldsymbol{b}=3\boldsymbol{e_1}+\boldsymbol{e_2}$ 设 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\theta$ ，则 $\cos^2\theta$ 的最小值为 $\_\_\_\_\_\_$

问题：

²⁴ 已知 $\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{b_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{b_2},\cdots, \boldsymbol{b_k}$ 是平面内两两互不相等的向量，若 $|\boldsymbol{a_1}-\boldsymbol{a_2}|=1$ ，且 $|\boldsymbol{a_i}-\boldsymbol{b_j}|\in\{1,2\}$ （其中 $i=1,2, j=1,2,\cdots,k$ ），则 $k$ 最大值为 $\_\_\_\_\_\_$

问题：

²⁵ 已知向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=5, |\boldsymbol{b}|=6, \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-6$ ，则 $\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rangle=$

A. $-\dfrac{31}{35}$ $\qquad$ B. $\dfrac{19}{35}$ $\qquad$ C. $\dfrac{17}{35}$ $\qquad$ D. $\dfrac{19}{35}$

问题：

²⁶ 已知单位向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^\circ$ ，则在下列向量中，与 $\boldsymbol{b}$ 垂直的是

A. $\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$ $\qquad$ B. $2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ $\qquad$ $\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$ $\qquad$ D. $2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$

问题：

²⁷ 已知单位向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $45^\circ$ ， $k\boldsymbol{a}-b$ 与 $a$ 垂直，则 $k=\_\_\_\_\_\_$

问题：

²⁸ 设 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 为单位向量，且 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$ ，则 $|-|=

问题：

²⁹ 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 1 。当每个 $\lambda_i (i=1,2,3,4,5,6)$ 取遍 $\pm 1$ 时， $\left|\lambda_1\overrightarrow{AB}+\lambda_2\overrightarrow{BC}+\lambda_3\overrightarrow{CD}+\lambda_4\overrightarrow{DA}+\lambda_5\overrightarrow{AC}+\lambda_6\overrightarrow{BD}\right|$ 的最小值是 $\_\_\_\_\_\_\_$ ，最大值是 $\_\_\_\_\_\_\_$

问题：

³⁰ 已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 为单位向量，且 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$ ，若 $\boldsymbol{c}=2\boldsymbol{a}-\sqrt{5}\boldsymbol{b}$ ，则 $\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\_\_\_\_\_\_$

问题：

³¹ 已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,3)$ ， $\boldsymbol{b}=(3,2)$ ，则 $\left|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right|=$

A. $\sqrt{2}$ $\qquad$ B. $2$ $\qquad$ C. $5\sqrt{2}$ $\qquad$ D. $50$

问题：

³² 已知 $\overrightarrow{AB}=(2,3)$ ， $\overrightarrow{AC}=(3,t)$ ， $\left|\overrightarrow{BC}\right|=1$ ，则 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=$

$-3$ $\qquad$ (B) $-2$ $\qquad$ (C) $2$ $\qquad$ (D) $3$

问题：

³³ 已知非零向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 满足 $\left|\boldsymbol{a}\right|=2\left|\boldsymbol{b}\right|$ ，且 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$ ，则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为

$\dfrac{\pi}{6}$ $\qquad$ (B) $\dfrac{\pi}{3}$ $\qquad$ (C) $\dfrac{2\pi}{3}$ $\qquad$ (D) $\dfrac{5\pi}{6}$

问题：

³⁴ 设点 $A,B,C$ 不共线，则 “$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的夹角为锐角” 是 $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|>\left|\overrightarrow{BC}\right|$ 的

充分而不必要条件 $\qquad$ (B) 必要而不充分条件
充分必要条件 $\qquad\qquad$ (D) 既不充分也不必要条件

问题：

³⁵ 设 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ 均为单位向量，则 “$\left|\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}\right|=\left|3\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right|$” 是 “$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$” 的

充分而不必要条件 $\quad$ (B) 必要而不充分条件
充分必要条件 $\qquad\quad$ (D) 既不充分也不必要条件

几何综合

问题：

³⁶ （多选）在正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $AB=AA_1=1$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BC}+\mu\overrightarrow{BB_1}$ ，其中 $\lambda\in[0,1],\mu\in[0,1]$ ，则

A. 当 $\lambda=1$ 时， $\triangle{AB_1P}$ 的周长为定值

B. 当 $\mu=1$ 时，三棱锥 $P-A_1BC$ 的体积为定值

C. 当 $\lambda=\dfrac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点，使得 $A_1P\perp BP$

D. 当 $\mu=\dfrac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点，使得 $A_1B\perp$平面$AB_1P$

³⁷

问题：

³⁸ ³⁹ 在四边形 $ABCD$ 中， $AD\parallel BC, AB=2\sqrt{3}, AD=5, \angle{A}=30^\circ$ ，点 $E$ 在线段 $CB$ 的延长线上，且 $AE=BE$ ，则 $\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AE}=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁴⁰ 在如图的平面图形中，已知 $OM=1$ ， $ON=2$ ， $\angle MON=120^\circ$ ， $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MA}$ ，$CN=2NA$ ，则 $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{OM}$ 的值为

$-15$ $\qquad$ (B) $-9$ $\qquad$ (C) $-6$ $\qquad$ (D) $0$

问题：

⁴¹ 已知 $P$ 是边长为 $2$ 的正六边形 $ABCDEF$ 内的一点，则 $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}$ 的取值范围是

A. $(-2,6)$ $\qquad$ B. $(-6,2)$ $\qquad$ C. $(-2,4)$ $\qquad$ D. $(-4,6)$

三点共线

问题：

⁴² 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ ，则 $|\overrightarrow{PD}|=\_\_\_\_\_\_$ ； $\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}=\_\_\_\_\_\_$ 。

问题：

⁴³ 在 $\triangle{ABC}$ 中， $AB=4, AC=3, \angle{BAC}=90^\circ$ ，$D$ 在边 $BC$ 上，延长 $AD$ 到 $P$ ，使得 $AP=9$ ，若 $\overrightarrow{PA}=m\overrightarrow{PB}+\left(\dfrac{3}{2}-m\right)\overrightarrow{PC}$ （ $m$ 为常数），则 $CD$ 的长度是 $\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁴⁴ 过 $y^2=4x$ 的焦点 $F$ 并垂直于 $x$ 轴的直线分别与 $y^2=4x$ 交于 $A$、$B$ ，$A$ 在 $B$ 上方， $M$ 为抛物线上一点， $\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{OA}+(\lambda-2)\overrightarrow{OB}$ ，则 $\lambda=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁴⁵ 如图，在 $\triangle ABC$ 中， $D$ 是 $BC$ 的中点， $E$ 在边 $AB$ 上， $BE=2EA$ ， $AD$ 与 $CE$ 交于点 $O$ 。若 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{EC}$ ，则 $\dfrac{AB}{AC}$ 的值是 $\_\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁴⁶ 在 $\triangle ABC$ 中， $AD$ 为 $BC$ 边上的中线， $E$ 为 $AD$ 的中点，则 $\overrightarrow{EB}=$

$\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ $\qquad$ (B) $\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
$\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ $\qquad$ (D) $\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

等内积圆

问题：

⁴⁷ 在 $\triangle{ABC}$ 中， $AC=3, BC=4, \angle{C}=90^\circ$ 。 $P$ 为 $\triangle{ABC}$ 所在平面内的动点，且 $PC=1$ ，则 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 的取值范围是

A. $[-5,3]$ $\qquad$ B. $[-3,5]$ $\qquad$ C. $[-6,4]$ $\qquad$ D. $[-4,6]$

问题：

⁴⁸ 如图，在四边形 $ABCD$ 中， $\angle{B}=60^\circ, AB=3, BC=6$ ，且 $\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{BC}$ ， $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=-\dfrac{3}{2}$ ，则实数 $\lambda$ 的值为 $\_\_\_\_\_\_$ 。若 $M, N$ 是线段 $BC$ 上的动点，且 $|\overrightarrow{MN}|=1$ ，则 $\overrightarrow{DM}\cdot\overrightarrow{DN}$ 的最小值为 $\_\_\_\_\_\_$ 。

问题：

⁴⁹ 在平面内， $A,B$ 是两个定点， $C$ 是动点。若 $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=1$ ，则点 $C$ 的轨迹为

A. 圆 $\qquad$ B. 椭圆 $\qquad$ C. 抛物线 $\qquad$ D. 直线

问题：

⁵⁰ 如图，在平面四边形 $ABCD$ 中， $AB\perp BC$，$AD\perp CD$，$\angle BAD=120^\circ$，$AB=AD=1$。若点 $E$ 为边 $CD$ 上的动点，则 $\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BE}$ 的最小值为

$\dfrac{21}{16}$ $\qquad$ (B) $\dfrac{3}{2}$ $\qquad$ (C) $\dfrac{25}{16}$ $\qquad$ (D) $3$

问题：

⁵¹ 已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{e}$ 是平面向量， $\boldsymbol{e}$ 是单位向量。若非零向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{e}$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}{3}$ ，向量 $\boldsymbol{b}$ 满足 $\boldsymbol{b}^2-4\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{b}+3=0$ ，则 $\left|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right|$ 的最小值是

$\sqrt{3}-1$ $\qquad$ (B) $\sqrt{3}+1$ $\qquad$ (C) 2 $\qquad$ (D) $2-\sqrt{3}$

二次函数

问题：

⁵² 设点 $P$ 在单位圆的内接正八边形 $A_1A_2\cdots A_8$ 的边 $A_1A_2$ 上，则 $\overrightarrow{PA_1}^2+\overrightarrow{PA_2}^2+\cdots\overrightarrow{PA_8}^2$ 的取值范围是 $\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁵³ 已知平面向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}(\boldsymbol{c}\neq0)$ 满足 $|a|=1,|b|=2$ , $a\cdot b=0, (a-b)\cdot c=0$ 。记向量 $\boldsymbol{d}$ 在 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 方向上的投影分别为 $x,y$, $\boldsymbol{d}-\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{c}$ 方向上的投影为 $z$ ，则 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值是 $\_\_\_\_\_\_$

向量真题汇编（编年体）

问题：

⁵⁴ 在 $\triangle{ABC}$ 中，点 $D$ 在边 $AB$ 上， $BD=2DA$ ，记 $\overrightarrow{CA}=\boldsymbol{m}, \overrightarrow{CD}=\boldsymbol{n}$ ，则 $\overrightarrow{CB}=\_\_\_\_\_\_$

A. $3\boldsymbol{m}-2\boldsymbol{n}$ $\qquad$ B. $-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$ $\qquad$ C. $3\boldsymbol{m}+2\boldsymbol{n}$ $\qquad$ D. $2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$

问题：

⁵⁵ 已知向量 $\boldsymbol{a}=(3,4)$，$\boldsymbol{b}=(1,0)$ ， $\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+t\boldsymbol{b}$ ，若 $\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\langle\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\rangle$ ，则实数 $t=$

A. $-6$ $\qquad$ B. $-5$ $\qquad$ C. $5$ $\qquad$ D. $6$

问题：

⁵⁶ 已知向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3},|\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}|=3$ ，则 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=$

A. $-2$ $\qquad$ B. $-1$ $\qquad$ C. $1$ $\qquad$ D. $2$

问题：

⁵⁷ 已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,1),\boldsymbol{b}=(-2,4)$ ，则 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=$

A. $2$ $\qquad$ B. $3$ $\qquad$ C. $4$ $\qquad$ D. $5$

问题：

⁵⁸ 设向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的夹角的余弦值为 $\dfrac{1}{3}$ ，且 $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=3$ ，则 $(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{b}=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁵⁹ 已知向量 $\boldsymbol{a}=(m,3),\boldsymbol{b}=(1,m+1)$ 。若 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$ ，则 $m=\_\_\_\_\_\_$ 。

问题：

⁶⁰ 在 $\triangle{ABC}$ 中， $AC=3, BC=4, \angle{C}=90^\circ$ 。 $P$ 为 $\triangle{ABC}$ 所在平面内的动点，且 $PC=1$ ，则 $\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}$ 的取值范围是

A. $[-5,3]$ $\qquad$ B. $[-3,5]$ $\qquad$ C. $[-6,4]$ $\qquad$ D. $[-4,6]$

问题：

⁶¹ 已知实数 $\lambda>0$ ，向量 $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ 的模都等于 $\lambda$ ，且 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0, \vec{c}\cdot\vec{b}=1,\vec{c}\cdot\vec{a}=2$ ，则 $\lambda=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁶² 在 $\triangle{ABC}$ 中，$\overrightarrow{CA}=a$，$\overrightarrow{CB}=b$ ，$D$ 是 $AC$ 的中点；$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{BE}$。试用 $a,b$ 表示 $\overrightarrow{DE}$ ：$\_\_\_\_\_\_$ ；若 $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{DE}$ ，求 $\angle{C}$ 的最小值为 $\_\_\_\_\_\_$ 。

问题：

⁶³ 设点 $P$ 在单位圆的内接正八边形 $A_1A_2\cdots A_8$ 的边 $A_1A_2$ 上，则 $\overrightarrow{PA_1}^2+\overrightarrow{PA_2}^2+\cdots\overrightarrow{PA_8}^2$ 的取值范围是 $\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁶⁴ 已知平面向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}(\boldsymbol{c}\neq0)$ 满足 $|a|=1,|b|=2$ , $a\cdot b=0, (a-b)\cdot c=0$ 。记向量 $\boldsymbol{d}$ 在 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 方向上的投影分别为 $x,y$, $\boldsymbol{d}-\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{c}$ 方向上的投影为 $z$ ，则 $x^2+y^2+z^2$ 的最小值是 $\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁶⁵ 若向量 a,b 满足 $|a|=3,\ |a-b|=5,\ a\cdot b=1$ ，则 $|b|=\_\_\_\_\_\_$ 。

问题：

⁶⁶ 已知向量 $\vec{a}=(3,1),\vec{b}=(1,0),\vec{c}=\vec{a}+k\vec{b}$ ，若 $\vec{a}\perp\vec{c}$ ，则 $k=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁶⁷ 已知向量 $\vec{a}=(2,5)$，$\vec{b}=(\lambda,4)$ ，若 $\vec{a}\parallel\vec{b}$ ，则 $\lambda=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁶⁸ 已知向量 $\vec{a}=(1,3)$，$\vec{b}=(3,4)$ ，若 $(\vec{a}-\lambda\vec{b})\perp\vec{b}$ ，则 $\lambda=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁶⁹ （多选）已知 $O$ 为坐标原点，点 $P_1(\cos\alpha,\sin\alpha)$ ， $P_2(\cos\beta,-\sin\beta)$ ， $P_3(\cos(\alpha+\beta)$ ，$\sin(\alpha+\beta))$ ， $A(1,0)$ 则：

A. $|\overrightarrow{OP_1}|=|\overrightarrow{OP_2}|$ $\qquad\qquad\qquad\quad$ B. $|\overrightarrow{AP_1}|=|\overrightarrow{AP_2}|$

问题：

⁷⁰ （多选）在正三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $AB=AA_1=1$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{BP}=\lambda\overrightarrow{BC}+\mu\overrightarrow{BB_1}$ ，其中 $\lambda\in[0,1],\mu\in[0,1]$ ，则

A. 当 $\lambda=1$ 时， $\triangle{AB_1P}$ 的周长为定值

B. 当 $\mu=1$ 时，三棱锥 $P-A_1BC$ 的体积为定值

C. 当 $\lambda=\dfrac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点，使得 $A_1P\perp BP$

D. 当 $\mu=\dfrac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点，使得 $A_1B\perp$平面$AB_1P$

问题：

⁷¹ 如图（原题给图了，其实没啥意义，放水而已），正方形 $ABCD$ 的边长为 $3$ ，则 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁷² 设 $\boldsymbol{e_1},\boldsymbol{e_2}$ 为单位向量，满足 $|2\boldsymbol{e_1}-\boldsymbol{e_2}|\leq\sqrt{2}, \boldsymbol{a}=\boldsymbol{e_1}+\boldsymbol{e_2}, \boldsymbol{b}=3\boldsymbol{e_1}+\boldsymbol{e_2}$ 设 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\theta$ ，则 $\cos^2\theta$ 的最小值为 $\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁷³ 在 $\triangle{ABC}$ 中，$D$ 是 $AB$ 边上的中点，则 $\overrightarrow{CB}=$

A. $2\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CA}$ $\qquad$ B. $\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{2CA}$ $\qquad$ C. $2\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CA}$ $\qquad$ D. $\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{CA}$

问题：

⁷⁴ 已知 $P$ 是边长为 $2$ 的正六边形 $ABCDEF$ 内的一点，则 $\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}$ 的取值范围是

A. $(-2,6)$ $\qquad$ B. $(-6,2)$ $\qquad$ C. $(-2,4)$ $\qquad$ D. $(-4,6)$

问题：

⁷⁵ 如图，在四边形 $ABCD$ 中， $\angle{B}=60^\circ, AB=3, BC=6$ ，且 $\overrightarrow{AD}=\lambda\overrightarrow{BC}$ ， $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=-\dfrac{3}{2}$ ，则实数 $\lambda$ 的值为 $\_\_\_\_\_\_$ 。若 $M, N$ 是线段 $BC$ 上的动点，且 $|\overrightarrow{MN}|=1$ ，则 $\overrightarrow{DM}\cdot\overrightarrow{DN}$ 的最小值为 $\_\_\_\_\_\_$ 。

问题：

⁷⁶ 已知 $\boldsymbol{a_1},\boldsymbol{b_1},\boldsymbol{a_2},\boldsymbol{b_2},\cdots, \boldsymbol{b_k}$ 是平面内两两互不相等的向量，若 $|\boldsymbol{a_1}-\boldsymbol{a_2}|=1$ ，且 $|\boldsymbol{a_i}-\boldsymbol{b_j}|\in\{1,2\}$ （其中 $i=1,2, j=1,2,\cdots,k$ ），则 $k$ 最大值为 $\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁷⁷ 在平面内， $A,B$ 是两个定点， $C$ 是动点。若 $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BC}=1$ ，则点 $C$ 的轨迹为

A. 圆 $\qquad$ B. 椭圆 $\qquad$ C. 抛物线 $\qquad$ D. 直线

问题：

⁷⁸ 已知向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=5, |\boldsymbol{b}|=6, \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=-6$ ，则 $\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\rangle=$

A. $-\dfrac{31}{35}$ $\qquad$ B. $\dfrac{19}{35}$ $\qquad$ C. $\dfrac{17}{35}$ $\qquad$ D. $\dfrac{19}{35}$

问题：

⁷⁹ 已知单位向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^\circ$ ，则在下列向量中，与 $\boldsymbol{b}$ 垂直的是

A. $\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$ $\qquad$ B. $2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ $\qquad$ $\boldsymbol{a}-2\boldsymbol{b}$ $\qquad$ D. $2\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$

问题：

⁸⁰ 已知单位向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $45^\circ$ ， $k\boldsymbol{a}-b$ 与 $a$ 垂直，则 $k=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁸¹ 设向量 $\boldsymbol{a}=(1,-1), \boldsymbol{b}=(m+1,2m-4)$ ，若 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$ ，则 $m=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁸² 设 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 为单位向量，且 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=1$ ，则 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁸³ 在 $\triangle{ABC}$ 中， $AB=4, AC=3, \angle{BAC}=90^\circ$ ，$D$ 在边 $BC$ 上，延长 $AD$ 到 $P$ ，使得 $AP=9$ ，若 $\overrightarrow{PA}=m\overrightarrow{PB}+\left(\dfrac{3}{2}-m\right)\overrightarrow{PC}$ （ $m$ 为常数），则 $CD$ 的长度是 $\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁸⁴ 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 $2$ ，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{AP}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)$ ，则 $|\overrightarrow{PD}|=\_\_\_\_\_\_$ ； $\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}=\_\_\_\_\_\_$ 。

问题：

⁸⁵ 已知正方形 $ABCD$ 的边长为 1 。当每个 $\lambda_i (i=1,2,3,4,5,6)$ 取遍 $\pm 1$ 时， $\left|\lambda_1\overrightarrow{AB}+\lambda_2\overrightarrow{BC}+\lambda_3\overrightarrow{CD}+\lambda_4\overrightarrow{DA}+\lambda_5\overrightarrow{AC}+\lambda_6\overrightarrow{BD}\right|$ 的最小值是 $\_\_\_\_\_\_\_$ ，最大值是 $\_\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁸⁶

⁸⁷ 在四边形 $ABCD$ 中， $AD\parallel BC, AB=2\sqrt{3}, AD=5, \angle{A}=30^\circ$ ，点 $E$ 在线段 $CB$ 的延长线上，且 $AE=BE$ ，则 $\overrightarrow{BD}\cdot\overrightarrow{AE}=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁸⁸ 过 $y^2=4x$ 的焦点 $F$ 并垂直于 $x$ 轴的直线分别与 $y^2=4x$ 交于 $A$、$B$ ，$A$ 在 $B$ 上方， $M$ 为抛物线上一点， $\overrightarrow{OM}=\lambda\overrightarrow{OA}+(\lambda-2)\overrightarrow{OB}$ ，则 $\lambda=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁸⁹ 已知直线方程 $2x-y+c=0$ 的一个方向向量 $\overrightarrow{d}$ 可以是

A. $(2,-1)$ $\qquad$ B. $(2,1)$ $\qquad$ C. $(-1,2)$ $\qquad$ D. $(1,2)$

问题：

⁹⁰ 已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,2),\boldsymbol{b}=(-8,6)$ ，则 $\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle=\_\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁹¹ 已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 为单位向量，且 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$ ，若 $\boldsymbol{c}=2\boldsymbol{a}-\sqrt{5}\boldsymbol{b}$ ，则 $\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{c}\rangle=\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁹² 已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,3)$ ， $\boldsymbol{b}=(3,2)$ ，则 $\left|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right|=$

A. $\sqrt{2}$ $\qquad$ B. $2$ $\qquad$ C. $5\sqrt{2}$ $\qquad$ D. $50$

问题：

⁹³ 已知 $\overrightarrow{AB}=(2,3)$ ， $\overrightarrow{AC}=(3,t)$ ， $\left|\overrightarrow{BC}\right|=1$ ，则 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=$

$-3$ $\qquad$ (B) $-2$ $\qquad$ (C) $2$ $\qquad$ (D) $3$

问题：

⁹⁴ 已知非零向量 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 满足 $\left|\boldsymbol{a}\right|=2\left|\boldsymbol{b}\right|$ ，且 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\perp\boldsymbol{b}$ ，则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为

$\dfrac{\pi}{6}$ $\qquad$ (B) $\dfrac{\pi}{3}$ $\qquad$ (C) $\dfrac{2\pi}{3}$ $\qquad$ (D) $\dfrac{5\pi}{6}$

问题：

⁹⁵ 如图，在 $\triangle ABC$ 中， $D$ 是 $BC$ 的中点， $E$ 在边 $AB$ 上， $BE=2EA$ ， $AD$ 与 $CE$ 交于点 $O$ 。若 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=6\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{EC}$ ，则 $\dfrac{AB}{AC}$ 的值是 $\_\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁹⁶ 已知向量 $\boldsymbol{a}=(-4,3)$ ， $\boldsymbol{b}=(6,m)$ ，且 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$ ，则 $m=\_\_\_\_\_\_\_\_$

问题：

⁹⁷ 设点 $A,B,C$ 不共线，则 “$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的夹角为锐角” 是 $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right|>\left|\overrightarrow{BC}\right|$ 的

充分而不必要条件 $\qquad$(B) 必要而不充分条件
充分必要条件 $\qquad\qquad$ (D) 既不充分也不必要条件

问题：

⁹⁸ 已知向量 $\boldsymbol a, \boldsymbol b$ 满足 $\left|\boldsymbol a\right|=1$ ， $\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b=-1$ ，则 $\boldsymbol a \cdot (2\boldsymbol a-\boldsymbol b)=$

4 $\qquad$(B) 3 $\qquad$(C) 2 $\qquad$(D) 0

问题：

⁹⁹ 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,2)$ ， $\boldsymbol{b}=(2,-2)$ ， $\boldsymbol{c}=(1,\lambda)$ 。若 $\boldsymbol{c}\parallel(2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ ，则$\lambda=\_\_\_\_\_\_\_$

问题：

¹⁰⁰ 设 $\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$ 均为单位向量，则 “$\left|\boldsymbol{a}-3\boldsymbol{b}\right|=\left|3\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right|$” 是 “$\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}$” 的

充分而不必要条件 $\quad$(B) 必要而不充分条件
充分必要条件 $\qquad\quad$ (D) 既不充分也不必要条件

¹⁰¹

问题：

¹⁰² 在 $\triangle ABC$ 中， $AD$ 为 $BC$ 边上的中线， $E$ 为 $AD$ 的中点，则 $\overrightarrow{EB}=$

$\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ $\qquad$ (B) $\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$
$\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AC}$ $\qquad$ (D) $\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$

问题：

¹⁰³ 在如图的平面图形中，已知 $OM=1$， $ON=2$， $\angle MON=120^\circ$， $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MA}$ ，$CN=2NA$ ，则 $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{OM}$ 的值为

$-15$ $\qquad$ (B) $-9$ $\qquad$ (C) $-6$ $\qquad$ (D) $0$

问题：

¹⁰⁴ 如图，在平面四边形 $ABCD$ 中， $AB\perp BC$，$AD\perp CD$，$\angle BAD=120^\circ$，$AB=AD=1$。若点 $E$ 为边 $CD$ 上的动点，则 $\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{BE}$ 的最小值为

$\dfrac{21}{16}$ $\qquad$(B) $\dfrac{3}{2}$ $\qquad$(C) $\dfrac{25}{16}$ $\qquad$(D) $3$

问题：

¹⁰⁵ 已知 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{e}$ 是平面向量， $\boldsymbol{e}$ 是单位向量。若非零向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{e}$ 的夹角为 $\dfrac{\pi}{3}$ ，向量 $\boldsymbol{b}$ 满足 $\boldsymbol{b}^2-4\boldsymbol{e}\cdot\boldsymbol{b}+3=0$ ，则 $\left|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right|$ 的最小值是

$\sqrt{3}-1$ $\qquad$(B) $\sqrt{3}+1$ $\qquad$(C) 2 $\qquad$(D) $2-\sqrt{3}$

问题：

¹⁰⁶ 设向量 $\boldsymbol{a}=(1,0)$ ， $\boldsymbol{b}=(-1,m)$ ，且 $\boldsymbol{a} \perp (m\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})$ ，则 $m=\_\_\_\_\_\_\_\_$ 。

2022 全国高考乙卷理科数学第 3 题↩︎
2022 全国高考乙卷文科数学第 3 题↩︎
2022 全国高考甲卷理科数学第 13 题↩︎
2022 全国高考甲卷文科数学第 13 题↩︎
2021 全国甲卷文科数学第 13 题↩︎
2021 全国甲卷理科数学第 14 题↩︎
2021 全国乙卷文科数学第 13 题↩︎
2021 全国乙卷理科数学第 14 题↩︎
2021 全国乙卷理科数学第 14 题↩︎
2021 全国乙卷理科数学第 14 题↩︎
2020 全国新高考 II 卷数学第 3 题↩︎
2020 全国高考 I 卷文科数学第 14 题↩︎
2019 上海高考数学第 13 题↩︎
2019 全国高考 III 卷文科数学第 13 题↩︎
2019 北京卷文科数学第 9 题↩︎
2018 全国II卷理科数学第 4 题文科数学第 4 题↩︎
2018 全国III卷文科数学第 13 题↩︎
2018 北京卷文科数学第 9 题↩︎
2022 全国新高考 I 卷数学第 3 题↩︎
2022 全国新高考 II 卷数学第 4 题↩︎
2022 上海高考数学第 11 题↩︎
2021 全国新高考 I 卷数学第 10 题↩︎
2020 浙江数学第 17 题↩︎
2020 上海高考数学第 12 题↩︎
2020 全国高考 III 卷理科数学第 6 题↩︎
2020 全国高考 II 卷文科数学第 5 题↩︎
2020 全国高考 II 卷理科数学第 13 题↩︎
2020 全国高考 I 卷理科数学第 14 题↩︎
2019 浙江高考文科数学第 17 题↩︎
2019 全国高考 III 卷理科数学第 13 题↩︎
2019 全国II卷文科数学第 3 题↩︎
2019 全国II卷理科数学第 3 题↩︎
2019 全国I卷理科数学第 7 题文科数学第 8 题↩︎
2019 北京卷理科数学第 7 题↩︎
2018 北京卷理科数学第 6 题↩︎
2021 全国新高考 I 卷数学第 12 题↩︎
2019 天津卷理科数学第 14 题文科数学第 14 题↩︎
2019 天津高考文科数学第 14 题↩︎
2019 天津高考理科数学第 14 题↩︎
2018 天津卷文科数学第 8 题↩︎
2020 全国新高考 I 卷数学第 7 题↩︎
2020 北京高考数学第 13 题↩︎
2020 江苏高考数学第 13 题↩︎
2019 上海高考数学第 9 题↩︎
2019 江苏卷数学第 12 题↩︎
2018 全国I卷理科数学第 6 题文科数学第 7 题↩︎
2022 北京高考数学第 10 题↩︎
2020 天津高考数学第 15 题↩︎
2020 全国高考 III 卷文科数学第 6 题↩︎
2018 天津卷理科数学第 8 题↩︎
2018 浙江卷数学第 9 题↩︎
2022 浙江高考数学第 17 题↩︎
2021 浙江数学第 17 题↩︎
2022 全国新高考 I 卷数学第 3 题↩︎
2022 全国新高考 II 卷数学第 4 题↩︎
2022 全国高考乙卷理科数学第 3 题↩︎
2022 全国高考乙卷文科数学第 3 题↩︎
2022 全国高考甲卷理科数学第 13 题↩︎
2022 全国高考甲卷文科数学第 13 题↩︎
2022 北京高考数学第 10 题↩︎
2022 上海高考数学第 11 题↩︎
2022 天津高考数学第 14 题↩︎
2022 浙江高考数学第 17 题↩︎
2021 浙江数学第 17 题↩︎
2021 全国甲卷文科数学第 13 题↩︎
2021 全国甲卷理科数学第 14 题↩︎
2021 全国乙卷文科数学第 13 题↩︎
2021 全国乙卷理科数学第 14 题↩︎
2021 全国新高考 I 卷数学第 10 题↩︎
2021 全国新高考 I 卷数学第 12 题↩︎
2021 上海数学第 4 题↩︎
2020 浙江数学第 17 题↩︎
2020 全国新高考 II 卷数学第 3 题↩︎
2020 全国新高考 I 卷数学第 7 题↩︎
2020 天津高考数学第 15 题↩︎
2020 上海高考数学第 12 题↩︎
2020 全国高考 III 卷文科数学第 6 题↩︎
2020 全国高考 III 卷理科数学第 6 题↩︎
2020 全国高考 II 卷文科数学第 5 题↩︎
2020 全国高考 II 卷理科数学第 13 题↩︎
2020 全国高考 I 卷文科数学第 14 题↩︎
2020 全国高考 I 卷理科数学第 14 题↩︎
2020 江苏高考数学第 13 题↩︎
2020 北京高考数学第 13 题↩︎
2019 浙江高考文科数学第 17 题↩︎
2019 天津高考文科数学第 14 题↩︎
2019 天津高考理科数学第 14 题↩︎
2019 上海高考数学第 9 题↩︎
2019 上海高考数学第 13 题↩︎
2019 全国高考 III 卷文科数学第 13 题↩︎
2019 全国高考 III 卷理科数学第 13 题↩︎
2019 全国II卷文科数学第 3 题↩︎
2019 全国II卷理科数学第 3 题↩︎
2019 全国I卷理科数学第 7 题文科数学第 8 题↩︎
2019 江苏卷数学第 12 题↩︎
2019 北京卷文科数学第 9 题↩︎
2019 北京卷理科数学第 7 题↩︎
2018 全国II卷理科数学第 4 题文科数学第 4 题↩︎
2018 全国III卷文科数学第 13 题↩︎
2018 北京卷理科数学第 6 题↩︎
2019 天津卷理科数学第 14 题文科数学第 14 题↩︎
2018 全国I卷理科数学第 6 题文科数学第 7 题↩︎
2018 天津卷文科数学第 8 题↩︎
2018 天津卷理科数学第 8 题↩︎
2018 浙江卷数学第 9 题↩︎
2018 北京卷文科数学第 9 题↩︎