三角函数-I：定义和解三角形
三角函数的意义远不止于此
。三角形的基本要素是三条边和三个角，当其中的某些要素确定下来后，整个三角形也就唯一确定了。为了计算这个确定三角形的其余要素（边长和角度），就需要用到三角函数。
在历史上，数学家们首先通过研究直角三角形得到了三角函数的概念，用以刻画直角三角形各边之间的比例。通过制订好的三角函数表，工程师可以很容易地解任意三角形，从而解决诸如计算建筑物高度之类的问题。
函数概念的复习
如二次函数，三角函数也是函数，我们来回顾一下函数的定义。下文整理自百度百科《函数》词条
函数这一概念最早由中国清朝数学家李善兰翻译，出于其著作《代数学》：“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”。意思是，函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。这实际上是函数最朴素的定义。
传统定义（人教版初中课本）
定义： 在一个变化过程中，发生变化的量叫变量，有些数值是不随变量而改变的，我们称它们为常量。
自变量（x）：一个与它量有关联的变量，这一量中的任何一值都能在它量中找到对应的固定值。
因变量（y）：随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量有且只有唯一值与其相对应。
函数关系：上述因变量和自变量之间的关系称为函数关系。 \(x\) 确定一个值，\(y\) 就随之确定一个值。当 \(x\) 取 \(a\) 时， \(y\) 就随之确定为 \(b\)， \(y_1\) 就叫做 \(x_1\) 的函数值。
集合、映射和函数
定义： 设 \(X\) 和 \(Y\) 是两个非空集合，如果按照某种对应关系，对于集合 \(X\) 中的任何一个元素，在集合 \(Y\) 中都存在唯一的元素与之对应，那么这样的对应叫做集合 \(A\) 到集合 \(B\) 的映射。定义在非空数集之间的映射称为函数。
概念辨析
在我国现行中学教材中，映射是在集合间定义的，而函数是在数集（实数集）之间定义的。函数是一种特殊的映射。
如果读者阅读更广泛的数学教材，会发现映射和函数这两个字眼的区分有时不是那么清晰，有些著作以“映射”作为统一名称，有的著作则使用“函数”字眼。
函数、定义域和值域（人教版高中课本必修一）
定义： 一般地，设 \(A,B\) 是非空的实数集，如果对于集合 \(A\) 中的任意一个数 \(x\) ，按照某种确定的对应关系 \(f\) ，在集合 \(B\) 中都有唯一确定的数 \(y\) 和它对应，那么就称 \(f:A\mapsto B\) 为从集合 \(A\) 到集合 \(B\) 的一个函数，记作 \[y=f(x), x\in A\] 其中，\(x\) 叫做自变量， \(x\) 的取值范围 \(A\) 叫做函数的定义域；与 \(x\) 的值对应的 \(y\) 值叫做函数值，函数值的集合 \({f(x)|x\in A}\) 叫做函数的值域。
示例： 请指出等差数列 \(1,3,5,7,9,...\) （无穷多项），在项数和项之间建立的函数关系：
- 传统定义语言：
- 自变量：\(n=1,2,3,4,5,...\)
- 因变量：\(a_n=1,3,5,7,9,...\)
- 函数关系：\(a_n=2n-1\)
- 集合映射语言：
- 集合 \(A\)：正整数集合 \(N^+\)
- 集合 \(B\)：实数集合 \(R\)
- 映射关系 \(f\)：\(y=f(x)=2x-1, x\in N^+\)
☐
示例： 请指出函数 \(f(x)=x^2\) 的定义域和值域。
示例： 请指出函数 \(f(x)=x^2+2x , x\in[-2,2]\) 的值域。
示例： 请指出函数 \(f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\) 的定义域和值域。
锐角三角函数的定义
1 三角函数是角的度量函数，它把三角形的角与它的边长联系起来，并且有许多其它的应用。对于锐角 \(\theta\) ，我们定义如下的三角函数：
锐角三角函数的定义（直角三角形）
如图 1 所示，令 \(\angle{O}=\theta\) ，在角的一边上取点 \(P\) （与 \(O\) 不重合） ，做 \(PQ\) 垂直于另一边，垂足为 \(Q\) 。我们定义正弦（\(\sin\)）、余弦（\(\cos\)）、正切（\(\tan\)）函数如下： \[\sin \theta = \dfrac{|PQ|}{|OP|}\quad,\quad \cos \theta = \dfrac{|OQ|}{|OP|}\quad,\quad \tan \theta = \dfrac{|PQ|}{|OQ|}\]
定义上述诸函数的倒数为余割（\(\csc\)）、正割（\(\sec\)）、余切（\(\cot\)）函数： \[\csc \theta = \dfrac{|OP|}{|PQ|}\quad,\quad \sec \theta = \dfrac{|OP|}{|OQ|}\quad,\quad\cot \theta = \dfrac{|OQ|}{|PQ|}\]
示例： 证明上述定义中，三角函数值与 \(P\) 点的选择无关。
示例： 根据三角函数的定义，计算 \(\sin30^\circ\) 、 \(\cos30^\circ\) 、\(\tan30^\circ\)
示例： 表 3 给出最常用的锐角三角函数。
思考与讨论
- 观察上表中的三角函数值，你能发现什么规律？
- 用计算器验证你发现的规律。你能证明你发现的规律么？
- 你应当如何定义 \(0^\circ\) 和 \(90^\circ\) 的三角函数？
示例： 观察图 4 当点 \(B\) 向下运动到无限接近 \(C\) 点时，\(\angle{A}\) 无限接近 \(0^\circ\) ，\(\angle{B}\) 无限接近 \(90^\circ\) ，给出此时两角的三角函数值。
示例： 求 \(\sin15^\circ\) （提示：使用角平分线定理）。
对于锐角三角函数，以下性质是容易证明的：2
三角函数的性质（余角的三角函数）
性质： \(\sin\alpha=\cos(90^\circ-\alpha)\)
性质： \(\tan\alpha=\cot(90^\circ-\alpha)\)
性质： \(\sec\alpha=\csc(90^\circ-\alpha)\)
作者按：这其实正是“余弦”、“余切”里面“余”字的由来。正弦值等于“余”角的“余”弦值，正切值等于“余”角的“余”切值。
三角函数的性质（同角的三角函数）
性质： \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)
性质： \(\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\)
作者按：同角三角函数的“性质”还有很多，但这些性质往往可以很容易得到，例如 \[\tan\alpha\cdot\cot\alpha=1,\quad 1+\tan^2\alpha=\sec^2\alpha\] 其余种种，不一而足。请见如下例题
示例： 已知 \(\tan\alpha=\dfrac{3}{4}\) ，利用上述性质求锐角 \(\alpha\) 的各三角函数值。 (\(\cot,\sin,\cos,\sec,\csc\))
示例： 已知 \(\sin15^\circ=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) ，利用上述性质求 \(15^\circ\) 角的各三角函数值。 (\(\tan,\cot,\cos,\sec,\csc\))
示例： 有了上述性质，再配合先前通过几何方法计算得到的 \(\sin15^\circ\) ，可以得到表 所示三角函数表。
示例： 在 \(Rt\triangle{ABC}\) 中，\(\angle{C}=90^\circ\)，\(AB=5\), \(BC=1\) ，使用如下三角函数表计算 \(\angle{A}\) 的度数。3
三角函数的几何应用
三角形的面积公式
三角形面积公式
定理： \(\triangle{ABC}\) 的三个角分别为 \(\angle{A},\angle{B},\angle{C}\) ，三个角所对的边的长度分别为 \(a,b,c\) 则\(\triangle{ABC}\) 的面积计算公式如下：\[S_{\triangle{ABC}}=\dfrac{1}{2}ab\sin{\angle{C}}=\dfrac{1}{2}bc\sin{\angle{A}}=\dfrac{1}{2}ca\sin{\angle{B}}\] 即：三角形面积等于两边之积乘以夹角的正弦值再除以二。
请注意，我们只定义了锐角的三角函数，但是当我们将三角函数扩展至钝角后，针对钝角三角形仍有相同公式，故此处不做特殊说明。
示例： 证明上述三角形面积公式，参考图如图 9 所示。
示例： 鸟头模型：在任意 \(\triangle{ABC}\) 中 \(D\) 、 \(E\) 分别 \(AB\) 、\(AC\) 边上两点，如图 10 所示。则三角形的面积之比满足： \[\dfrac{S_{\triangle{ADE}}}{S_{\triangle{ABC}}}=\dfrac{|AD|\cdot|AE|}{|AB|\cdot|AC|}\]
思考与讨论
- 如果在图 9 中 \(\angle{A}\) 是钝角，也有类似的鸟头模型结论么？
- 如果两个三角形的一角互补而不是相等，也有类似鸟头模型的结论，你能叙述该结论么？
- 你能证明上述结论么？
- 通过“钝角/补角鸟头模型”，你认为应当如何定义钝角的正弦值？
☐
在研究四直线相交截线段比例时，我们介绍过角平分线定理：三角形的内角平分线分对边的线段之比等于两邻边之比。在三角函数的加持下，我们可以突破“角平分线”的限制，得出更一般的结论。
角分线定理（比例引理）
定理： 在 \(\triangle{ABC}\) 中 \(D\) 是 \(BC\) 边上一点。\(AD\) 分 \(\angle{BAC}\) 的角度为 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 。则 \(D\) 分线段 \(BC\) 之比为： \[\dfrac{|BD|}{|DC|}=\dfrac{|AB|\cdot \sin\alpha}{|AC|\cdot \sin\beta}\]
示例： 使用三角形面积公式，证明角分线定理。
示例： 如图 12 所示，在 \(Rt\triangle{ABC}\) 中，\(\angle{BAC}=90^\circ\)，点 \(D\) 在 \(BC\) 上， \(\angle{BAD}=60^\circ\) ，\(AB=CD\) 。求证 \(\angle{C}=30^\circ\) 。
正弦函数的延拓
三角形的角除了锐角外，还有直角和钝角。为了能处理一般的三角形，我们需要将锐角三角函数的定义拓展至 \(0 - 180^\circ\) 。
延拓的概念
设 \(E\) 与 \(F\) 为两个集合， \(P\) 为 \(E\) 的子集，而 \(f\) 为从 \(P\) 到 \(F\) 中的映射. 任一从 \(E\) 到 \(F\) 中的映射，如果它在 \(P\) 上的限制为 \(f\) ，则称该映射为 \(f\) 在 \(E\) 上的延拓。 《百度百科-延拓》
简而言之，延拓就是在扩展定义域的同时保证原有定义域的计算结果不变。例如我们将自然数的四则运算扩展至有理数和实数，就是从 \(f:N\times N\mapsto R\) 到 \(f:R\times R\mapsto R\) 的延拓。当拓展某个函数的定义域时，明智的选择是尽量保持原有函数的性质。借用电子产品软件升级时的常用说法，就是在功能升级的同时提供“向下兼容性”。
到目前为止，关于正弦函数最重要的应用就是三角形面积公式 \[S_{\triangle{ABC}}=\dfrac{1}{2}bc\sin\angle{A}\]
我们希望将正弦函数延拓至 \(0-180^\circ\) ，同时保持该公式成立。为此考虑图 13 所示的情形：图中，\(AC=AC'\)，\(\angle{BAC}+\angle{BAC'}\) 。 \[S_{\triangle{ABC'}}=S_{\triangle{ABC}}=\dfrac{1}{2}bc\sin\alpha\]
钝角的正弦函数值
钝角的正弦函数值
定义： \(\sin\alpha=\sin(180^\circ-\alpha)\)
从而 \[S_{\triangle{ABC'}}=\dfrac{1}{2}bc\sin(180^\circ-\alpha)=\dfrac{1}{2}bc\sin\alpha=S_{\triangle{ABC}}\]
正弦定理
本节讨论一个三角形中非常基础的定理“正弦定理”。该定理建立了三角形三边与角度正弦值的比例关系。
正弦定理
定理： 在 \(\triangle{ABC}\) 中 \(\angle{A}, \angle{B}, \angle{C}\) 对应的边分别为 \(a,b,c\) \[\dfrac{a}{\sin\angle{A}}=\dfrac{b}{\sin\angle{B}}=\dfrac{c}{\sin\angle{C}}\]
事实上，这个比值等于三角形外接圆的直径 \(2R\) 。
示例： 验证正弦定理。
示例： 证明正弦定理。（注意讨论你的证明是否针对各种三角形都成立）
余弦定理
正弦定理告诉我们比例，而余弦定理告诉我们那条边到底有多长。
余弦定理
定理： 在 \(\triangle{ABC}\) 中 \(\angle{A}, \angle{B}, \angle{C}\) 对应的边分别为 \(a,b,c\) \[a^2=b^2+c^2-2bc\sin\angle{A}\]
三角形的三边处于对称地位，所以 \(a,b,c\) 是可以轮换的，所以同时也有以下关系 \[b^2=c^2+a^2-2ca\cos\angle{B}\] \[c^2=a^2+b^2-2ab\cos\angle{C}\]
示例： 验证余弦定理。
钝角三角形的证明，留做作业
我们通过定义钝角的正弦值等于其补角的正弦值，从而获得了三角形面积公式和正弦定理的统一表述形式。应当如何定义钝角的余弦函数值，从而获得统一的余弦定理表述形式呢？
示例： 证明若 \(b\) 是一个三角形中钝角的对边，则 \[b^2=a^2+c^2+2ac\cos\angle{B'}\] 其中 \(B'\) 是钝角 \(B\) 的补角。4
基于这个结果，我们给出 钝角的余弦值的定义：
钝角的余弦值
定义： 一个钝角的余弦等于其补角的余弦乘以 \(-1\) 。进一步，对于 \(\alpha\in[0^\circ,180^\circ]\) 有：\[\cos\alpha=-\cos(180^\circ-\alpha)\]
从而得到余弦定理的统一形式 \(b^2=c^2+a^2-2ca\cos\angle{B}\) 。
示例： 在图 18 所示的钝角三角形中验证余弦定理。
基础练习：三角函数的定义
练习： 若一个三角形的三条边边长分别由下面各组数给出，试判断该三角形试锐角、直角还是钝角三角形。（提示：使用勾股定理）5
\(\{6,7,8\}\) (2) \(\{6,8,10\}\) (3) \(\{6,8,9\}\) (4) \(\{6,8,11\}\)
\(\{5,12,12\}\) (6) \(\{5,12,14\}\) (7) \(\{5,12,17\}\)
练习： 写出图 19 中 角 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 的正弦值。6
练习： 仅使用直尺和圆规，绘制正弦值为 \(\dfrac{2}{3}\) 的锐角。并叙述作图过程。7
练习： 仅使用直尺和圆规，绘制余切值为 \(2\) 的锐角。并叙述作图过程。8
练习： 仅使用直尺和圆规，绘制正割值为 \(\dfrac{4}{3}\) 的锐角。并叙述作图过程。9
练习：（三角测距法）10 如图 20 所示，为了测量 \(A\) 处到河流对岸一建筑物 \(B\) 的距离，在此岸边另选一点 \(P\) ，使得 \(PA\perp AB\) ，\(PA=100m\)。测得 \(\angle{P}=62^\circ\) 。计算 \(A\) 到 \(B\) 的距离。
练习：（三角测距法 A）11 如图 21 所示，热气球探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 \(30^\circ\) ，看这栋楼底部的俯角为 \(60^\circ\) ，热气球与楼的水平距离为 \(120m\) ，这栋楼有多高？（结果取整数，单位为 \(m\)）
练习： 如图 22 所示，12 直升飞机于空中 \(A\) 处观测正前方地面上一目标 \(B\) 的俯角为 \(29^\circ\) ，继续向前飞 \(1000\) 米到 \(C\) 处，观测到目标 \(B\) 的俯角为 \(44^\circ\) 。问飞机向前再飞行多远，才能到目标 \(C\) 的正上方？飞机到地面的高度是多少？
本题要使用三角函数表
本题要使用三角函数表
在现阶段，只要求采用三角函数表求解近似值。在学习过和角的三角函数之后，我们可以精确求出此处的三角函数值
基础练习：正弦定理
练习： （三角测距法 B）16 为测量 \(A\) 处到河对岸 \(B\) 处的距离，在河岸 \(A\) 所处一侧选取一点 \(P\) ，使得 \(PA=200m\) 。测得 \(\angle{P}=62^\circ\) ，\(\angle{A}=43^\circ\) 。
画出\(A,B,P\) 以及河流位置的示意图；
试计算 \(A,B\) 两点之间的距离。
练习：17 在 \(\triangle{ABC}\) 中，已知 \(\angle{A}=35^\circ\) ，\(a=6\)，\(c=9\) ，求 \(\angle{B}\) 和 \(b\) 。（结果角度准确到 \(0.5^\circ\) ，长度保留两位小数）
练习：18 在 \(\triangle{ABC}\) 中，已知 \(\angle{A}=35^\circ\) ，\(a=6\)，\(c=4\) ，求 \(\angle{B}\) 和 \(b\) 。（结果角度准确到 \(0.5^\circ\) ，长度保留两位小数）
练习：19 如图 24 所示，欲测不能到达其底部的工厂之烟囱高度，若已测量指向烟囱底部之基线 \(AC=11m\) ，且 \(\angle{BAD}=49^\circ\) ，\(\angle{BCD}=35^\circ\) ，及量角器之高 \(AM=1.37m\) ，问烟囱的高度如何？
练习：20 为了测量铅直物体 \(AB\) 的高，由底端引一基线 \(AC\) 与地面成 \(\alpha\) 角，由点 \(C\) 仰望点 \(B\) ，其仰角为 \(\beta\) ， \(AC=b\mathrm{m}\)，求此物体的高。21
练习：22 在与地面成 \(\beta\) 角的山坡上耸立一树，当太阳高度角为 \(\alpha\) 时，树在坡上的影子长为 \(l\mathrm{m}\) ，求树高。
练习：23 平行四边形的一对角线长为 \(d\) ，且此对角线将平行四边形的二对角分为 \(\alpha\) 及 \(\beta\) ，求此平行四边形的各边长度。
练习：24 已知三角形的二角\(\beta\) 与 \(\alpha\) ，及其夹边 \(a\) ，求该三角形各内角平分线的长度。
练习：25 在 \(\triangle{ABC}\) 内，已知 \(\angle{A}=\alpha\) ，\(\angle{C}=\gamma\) ，高 \(AD=h\mathrm{m}\)，求三角形各边之长。
基础练习：余弦定理
练习：26 对于下图中的每个三角形，求标有 \(x\) 的边或者角。
练习：28 由下列已知条件，解三角形：
\(a=10,b=15,\angle{C}=123^\circ17'\)
\(a=0.2,c=0.6,\angle{B}=23^\circ28'\)
\(c=40,a=100,\angle{C}=16^\circ28'\)
练习：29 欲测不能直接测得之两地 \(AB\) 间的距离，如图 27 所示。通过能直接看到 \(A,B\) 两地之一地 \(C\) ，并测得距离 \(BC=a\) ，\(AC=b\) 及 \(\angle{ACB}=\gamma\) ，试求 \(A,B\) 间的距离。\ (\(a=100\mathrm{m},b=80\mathrm{m},\gamma=48^\circ57'\))
练习：32 如图 28 所示，已知不过 \(A,B\) 两地的基线 \(CD=a\mathrm{m}\) ，\(\angle{ACD}=\gamma\) ， \(\angle{BCD}=\alpha\) ， \(\angle{BDC}=\delta\) ， 求 \(AB\) 。\ (\(a=2000\mathrm{m},\alpha=52^\circ40',\beta=42^\circ1',\gamma=86^\circ40',\delta=81^\circ15'\))
基础练习：面积公式
练习：33 求证平行四边形的面积等于两邻边与其夹角正弦的乘积。补充练习：三角函数的概念
练习：39 若扇形 \(OAB\) 的圆心角是 \(\theta\) ，半径是 \(a\)
试用 \(a\) 和 \(\theta\) 表示这个扇形内切圆的半径 \(r\) 。
若扇形的圆心角是 \(60^\circ\) ，求其内切圆与扇形的面积之比。
练习：40 求弦长是 \(a\) ，且包含 \(60^\circ\) 圆周角的弓形面积。
练习：41 若正多边形的一个外角是一个内角的 \(\dfrac{1}{6}\) ，试用弧度制表示内角和外角的大小，并求出多边形的边数。
练习：42 将下列各角换算成弧度制或角度制
\(75^\circ,\ 120^\circ,\ -150^\circ,\ -300^\circ,\ 175^\circ,\ -36^\circ\)
\(\dfrac{\pi}{10},\ \dfrac{5\pi}{2},\ -\dfrac{3\pi}{4},\ \dfrac{2\pi}{3},\ 2,\ -3\)
练习：43 两个相等的圆 \(O,O'\) 相交于 \(A,B\) 两点，它们公共部分的面积等于圆 \(O\) 面积的一半。令 \(\angle{AOB}=\dfrac{\pi}{2}+\theta\) 。求证 \(\theta=\cos\theta\)
练习：44 用作图的方法求出 \(\sin15^\circ\) 和 \(\cos15^\circ\) 的值。
练习：45 用作图的方法求出 \(\sin18^\circ\) 和 \(\cos18^\circ\) 的值。
练习：46 证明下列等式：
\(\tan^2 x+(1-\tan^4 x)\cos^2 x=1\)
\(\dfrac{\sin(90^\circ-x)}{\tan(90^\circ-x)}=\sin x\)
\(\dfrac{1}{1+\sin x}=\dfrac{1}{\cos^2 x}-\dfrac{\tan x}{\cos x}\)
练习：47 证明下列等式：
\(\dfrac{1+2\sin\theta\cos\theta}{\cos^2\theta-\sin^2\theta}=\dfrac{\cos\theta+\sin\theta}{\cos\theta-\sin\theta}\)
练习：48 要测量烟囱的高度，但由于它的周围有建筑物而不能测得到烟囱底部的距离。现在空地上取 \(A,A'\) 两点，使 \(A,A',C\) 在一条直线上。分别在 \(A,A'\) 测仰角，得 \(\angle{A}=30^\circ\) ，\(\angle{A'}=40^\circ\) ，又测得 \(AA'=10m\) 。求烟囱的高度。
练习：49 求下列三角形的面积：
练习：50 若菱形的边长是 \(20\mathrm{cm}\) ，一个角是 \(60^\circ\) ，求它的内接正方形的边长。
练习：51 梯形的上底是 \(a\) ，下底是 \(b\) ，\(a<b\) ，两底角是 \(\alpha,\beta\) ，写出它的面积公式。
练习：52 有一个长方形的台球台 \(ABCD\) 。假设一个球从中心 \(O\) 打出后，经 \(AB\) 上的点 \(X\) 反弹到 \(BC\) 上的点 \(Y\) 。 \(AB=2a,\ BC=2b,\ \angle{AXO}=\angle{BXY}=\theta\) 。
绘制示意图；
用 \(a,b,\theta\) 表示 \(BY\) 的长；
若 \(a=\sqrt{3}b\) ，求是从 \(X\) 弹回的球恰巧进入 \(C\) 点的 \(\theta\) 的值。
练习：53 从直角三角形的顶点 \(A\) 向斜边 \(BC\) 作垂线 \(AD\) ，再从它的垂足 \(D\) 向 \(AB\) 、 \(AC\) 分别作垂线 \(DE\) 、 \(DF\) ，设 \(BC=a,\ BE=x,\ CF=y,\ \angle{ABC}=\theta\)
用 \(a\) 及 \(\theta\) 的三角函数表示 \(AB\) ；
用 \(a\) 及 \(\theta\) 的三角函数分别表示 \(x,y\) ；
证明 \(x^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\) 。
练习：54 \(A\) 是锐角，\(\sin A=\dfrac{1}{3}\) ，求 \(\tan A\) 及 \(\sec A\) 。
练习：55 \(A\) 是锐角，\(\cos A=\dfrac{12}{13}\) ，求 \(A\) 其它的三角函数值。
练习：56 \(A\) 是锐角，用 \(\cos A\) 表示 \(A\) 的其它三角函数值。
练习：57 \(A\) 是锐角， \(\cos A=\dfrac{7}{25}\) ，那么 \(\sin A\) 等于多少？
练习：58 \(A\) 是锐角，若 \(\cos A=\dfrac{1}{a}\) ，求 \(\sin A\) 及 \(\tan A\) 。
练习：59 \(A\) 是锐角，若 \(\cos A=\dfrac{5}{13}\) ，求 \(\sin A\) 及 \(\tan A\) 。
练习：60 \(A\) 是锐角，若 \(\tan A=\sqrt{3}\) ，求 \(\sin A\) 及 \(\cos A\) 。
练习：61 \(A\) 是锐角，若 \(\tan A=\dfrac{m}{n}\) ，求 \(\sin A\) 及 \(\cos A\) 。
练习：62 \(A\) 是锐角，用 \(\sin A\) 表示 \(A\) 的其它三角函数值。
练习：63 \(A\) 是锐角，若 \(\tan A=\dfrac{2mn}{m^2-n^2}\) 求 \(\cos A\) 及 \(\csc A\) 。
练习：64 \(A\) 是锐角，若 \(\cos A=0.7\) ，计算 \(\tan A\) ，精确到小数点后第二位。
练习：65 \(A\) 是锐角，当 \(\tan A=\dfrac{2x(x+1)}{2x+1}\) 时， \(\sin A\) 和 \(\cos A\) 的值是多少？
补充练习：三角函数的等式变形
练习：66 若 \(\sin\theta+\sin^2\theta=1\) ，求 \(\cos^2\theta+\cos^4\theta\) 的值。
练习：67 若 \(1+\sin^2\theta=3\sin\theta\cos\theta\) ，求 \(\tan\theta\) 的值。
练习：68 若 \(\cos x=\tan x\) ，求 \(\sin x\) 的值。
练习：69 若 \(\sin x+\cos x=a\) ，求 \(\tan x+\cot x\) 的值。
练习：70 化简 \((\csc\theta-\sin\theta)\cdot(\sec\theta-\cos\theta)\cdot(\tan\theta+\cot\theta)\)
练习：71 化简 \(\dfrac{\tan\theta}{1-\cot\theta}+\dfrac{\cot\theta}{1-\tan\theta}-\sec\theta\csc\theta\)
练习：72 化简 \(\cot^2\theta\cdot\dfrac{\sec\theta-1}{1+\sin\theta}+\sec^2\theta\cdot\dfrac{\sin\theta-1}{1+\sec\theta}\)
练习：73 化简 \((\sin\theta+\cos\theta)^2+(\sin\theta-\cos\theta)^2\)
练习：74 化简 \((1-\tan^4\theta)\cos^2\theta+\tan^2\theta\)
练习：75 化简 \((\tan\theta+\cot\theta)^2-(\tan\theta-\cot\theta)^2\)
练习：76 当 \(\cos\alpha=\dfrac{m^2+2mn}{m^2+2mn+2n^2}\) 时， \(\tan\alpha\) 等于多少？
练习：77 若 \(\tan\dfrac{x}{2}=t\) ，用 \(t\) 表示 \(\cos x\) 、 \(\sin x\) 和 \(\tan x\) 。
练习：78 已知 \(\sin\alpha+\sin\beta=1,\ \cos\alpha+\cos\beta=0\) ，求下列两式的值。
\(\cos2\alpha+\cos2\beta\) ；
\(\sin^4\alpha+\cos^4\beta\) 。
练习：79 证明 \(\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sec\alpha+\csc\alpha}=\sin\alpha\cos\alpha\)
练习：80 证明 \(\dfrac{\cot\alpha+\tan\beta}{\tan\alpha+\cot\beta}=\cot\alpha\tan\beta\)
练习：81 证明 \(\dfrac{\tan A+\tan B}{\cot A+\cot B}=\tan A\tan B\)
练习：82 证明 \(\dfrac{(\sec A+\csc A)^2}{\sec^2A+\csc^2A}=1+2\sin A\cos A\)
练习：83 证明 \((1-\tan^4A)\cos^2A+\tan^2A=1\)
练习：84 证明 \((\cos A-\cos^3A)^2+(\sin A-\sin^3A)^2=\sin^2A\cos^2A\)
练习：85 证明 \((\cos^2A+\cot^2A)\tan^2A=\sec^2A+(\cos^2A-1)\tan^2A\)
练习：86 证明 \(\sin A(1+\tan A)+\cos A(1+\cot A)=\csc A + \sec A\)
练习：87 证明 \((\tan\alpha-\sin\alpha)^2+(1-\cos\alpha)^2=(\sec\alpha-1)^2\)
练习：88 证明 \((\tan\alpha-1)^2+(1-\cot\alpha)^2=(\sec\alpha-\csc\alpha)^2\)
练习：89 证明 \(\sin^2\cos^2\beta-\sin^2\beta\cos^2\alpha=\sin^2\alpha-\sin^2\beta\)
练习：90 证明 \(\sec^2\alpha+\csc^2\alpha=\sec^2\alpha\cdot\csc^2\alpha\)
练习：91 证明 \(\tan^2\alpha+\cot\alpha+2=\sec^2\alpha\csc^2\alpha\)
练习：92 证明 \(\dfrac{2\sin\theta\cos\theta-\cos\theta}{1-\sin\theta+\sin^2\theta-\cos^2\theta}=\cot\theta\)
练习：93 证明 \(\sec^6A=1+\tan^6A+3\tan^2A\sec^2A\)
练习：94 证明 \(\dfrac{\tan A}{1-\cot A}+\dfrac{\cot A}{1-\tan A}=\sec A\csc A+1\)
练习：95 证明 \(1-\tan^2A+\tan^4A=\cos^2A(1+\tan^6A)\)
练习：96 证明 \(\tan\theta+\cot\theta=2\sin\theta\cos\theta+\sin^3\theta\sec\theta+\cos^3\theta\csc\theta\)
练习：97 若 \(m\sin\alpha=n\cos\alpha\) ，证明 \(\sin\alpha=\dfrac{n}{\sqrt{m^2+n^2}}\)
练习：98 若 \(\cos\theta=\dfrac{5}{13}\) ，计算 \(\dfrac{2\sin\theta-3\cos\theta}{4\sin\theta-9\cos\theta}\) 的值。
练习：99 若关于 \(x\) 的二次方程 \(x^2-(\tan\alpha+\cot\alpha)x+1=0\) 的一个根是 \(2+\sqrt{3}\) 。证明 \(\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{1}{4}\)
练习：100 证明下列等式：
\(\dfrac{1-\tan^2x}{1+\tan^2x}=\cos^2x-\sin^2x\)
\(\dfrac{\sin x}{1+\cos x}=\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\)
\(2+\cot^2x=\dfrac{1}{\sin^2x}+\dfrac{1}{\cos^2x}-\tan^2x\)
练习：101 若 \(\cos A=\cos x\sin C,\ \cos B=\sin x\sin C\) ，证明 \(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=2\)
练习：102 若 \(1+\sin^2\theta=3\cos\theta\sin\theta\) ，求 \(\tan\theta\) 的值。
练习：103 已知关于 \(x\) 的二次方程 \(3x^2-4x\sin\alpha+2(1-\cos\alpha)=0\) 有两个不相同的实根，求实数 \(\alpha\) 的取值范围。（注：原书答案需要加入锐角限定）